题目

（2019·湖北中考模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N．下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若tan∠BAE＝，则tan∠DAF＝；④若BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝18．其中结论正确的是__（将正确的序号写在横线上） 答案：①②③． 【解析】 解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEH中 ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EH＝EF， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴BE+BH＝BE+DF＝EF， 故①正确； 过A作AG⊥EF于G， ∴∠AGE＝∠ABE＝90°， 在△ABE与△AGE中 ， ∴△ABE≌△AGE（AAS）， ∴AB＝AG， ∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确； ∵tan∠BAE＝ ， ∴设BE＝m，AB＝2m， ∴CE＝m， 设DF＝x，则CF＝2m﹣x，EF＝BE+DF＝m+x， ∵CF2+CE2＝EF2， ∴（2m﹣x）2+m2＝（m+x）2， ∴x＝m， ∴；故③正确； ∵BE＝2，DF＝3， ∴EF＝BE+DF＝5， 设BC＝CD＝n， ∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3， ∴EF2＝CE2+CF2， ∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2， ∴n＝6（负值舍去）， ∴AG＝6， ∴．故④错误， 故答案为①②③． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积，熟练全等三角形的判定定理是解决此类题的关键.

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